Игры для взрослых

Что общего у различных игр: шахмат, карточных игр, войн, рыночной конкуренции, аукционов? Все эти ситуации можно описать при помощи теории игр – раздела прикладной математики, - ставшей неотъемлемой частью экономической теории.См. "11 ПИ - РЭ". Подробно ).

Невероятная эффективность математики, пользуясь выражением одного из крупнейших физиков XX века Юджина Вигнера, до начала XX века в полной мере проявила себя лишь «физике. Но стоило с ее помощью преодолеть тяжелый кризис, вызванный обнаруженными тогда труднообъяснимыми свойствами света, и создать теорию относительности и квантовую механику - и уже всем пришлось задуматься: а нельзя ли ту же невероятную эффективность использовать и в других науках? Наиболее привлекательными сферами для таких попыток казались биология и социология. И не напрасно: и там, и тут эти попытки принесли свои плоды. И, если активное вмешательство физиков со своими специфическими методами в биологические исследования обернулось возникновением новой науки - молекулярной биологии, то математики в большей мере начали искать новые источники вдохновения в общественных отношениях. Продуктом их деятельности стала сначала теория игр, породившая затем целую связку дисциплин: эконометрику, макроэкономику, теорию принятия решений, исследование операций. Все они были бы невозможны без исходного умения обращаться со случайными процессами.

Как только происходит взаимодействие самостоятельных рациональных субъектов (рациональных, или частично рациональных), возникает игра. Главный вопрос теории игр заключается в предсказании поведения участников игры: какие ходы сделают шахматисты, чем завершатся войны и переговоры, какие цены сформируются на рынке...

0 воле случая

Сложно математически описать поведение объекта, обладающего сознанием, например человека, это связано с его непредсказуемостью. Электрон, китайский волчок или даже целый поезд под воздействием определенных сил поведет себя однозначно предсказуемым образом. Человек же может по-разному реагировать на одни и те же соблазны или побуждения. Одна и та же пара людей, повторно встретившись за той же самой шахматной доской в то же время суток при сколь угодно точно воспроизведенных обстоятельствах, почти наверняка сыграет партию, очень мало напоминающую предыдущую. Причинно-следственная связь кажется разорванной вмешательством случайного и непредсказуемого фактора - воли человека.

Впрочем, сила математики всегда состояла в том, что она бралась исследовать, не сам объект, какой он существует в реальности, а более или менее далекую его копию, как сказали бы сейчас, модель. Даже плоскости, отрезки и треугольники, которыми так успешно оперирует геометрия Евклида, вовсе не существуют в природе. Но когда нужно определить площадь поля или пашни, в геометрическом арсенале можно подобрать подходящую модель: треугольник, квадрат или пятиконечную звезду, пригодную для этой цели.

Как модель случайного процесса можно использовать подбрасываемую монету, колесо рулетки или игральную кость. В конечном итоге неважно, чем определяется итог каждого подбрасывания или закручивания, недостаточностью нужной информации или неумением соразмерять силы с конечным результатом, важно, что итог каждого опыта непредсказуем. Но шахматная партия, в которой каждый ход противника определяется лишь подбрасыванием игральной кости, превратилась бы в бессмысленное блуждание фигур по доске. Осмысленность игре придает предполагаемая в человеке возможность предвидеть последствия своих действий и выбирать те из них, которые если и не приводит к наиболее желательным последствиям, то позволяют избежать наименее желательных. Так что разум оказывается более пригодным для математического моделирования, чем воля.

Ваш ход, профессор Янош

Первый известный истории успешный результат, достигнутый путем такого рода рассуждений, был получен в начале 20-х годов Джоном фон Нейманом. Родившись в Будапеште в немецкой семье в 1903 году, он все же был по местным обычаям наречен Яношем, однако отправившись в 1920 году изучать химию в Берлинском университете, стал уже Иоганном. Свое химическое образование он завершил в Цюрихе в 1926 году и отправился преподавать физику сначала в бывшую alma mater в Берлин, а затем в Гамбург. И очень вовремя, в 1940 году, даже особенно не задумываясь о грядущих политических переменах, он перебрался в Принстон, где уже Джон провел оставшуюся увы, небольшую часть своей жизни. Он умер в 1957 году в возрасте 53 лет. Тем не менее, Джон фон Нейман оставил свой след как один из наиболее ярких и оригинальных мыслителей столетия не только благодаря своим блистательным работам но уже существующим дисциплинам, таким как физика или математика, но и как создатель новых. Ему мы в немалой степени обязаны появлением компьютеров и вычислительной науки, идеей использования компьютеров для предсказания погоды и климатологического и экономического дизайна.

Формально датой рождения теории игр можно было бы считать 1944 год, когда Принстонский институт перспективных исследований выпустил необычно толстую
книгу, озаглавленную – «Теория игр и экономическое поведение», которую написали Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн. Но еще в 1926 году выпускник химического отделения Высшей школы Цюриха Иоганн фон Нейман выступил на заседании Геттингенского математического общества с докладом на тему «Теория социальных игр», где привел несколько интересных практических примеров.

Что такое теория игр

Раздел математики, изучающий финальные модели принятия оптимальных решений в УСЛОВИЯХ конфликта. При этом под конфликтом понимается процесс, в котором принимают участие стороны, имеющие различные интересы и возможности выбиратъ доступные для них действия в соответствии с этими интересами (Конфликты и сотрудничество). Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались начиная с XVI в. многими учеными. Систематическая же – математическая теория игр была детально разработана американскими учеными Джоном Нейманом и 0.Моргенштейном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр переросла эти рамки и превратилась в oбщую математическую теорию конфликтов.

В рамках теории игр в принципе поддаются математическому описанию военные и правовые конфликты, спортивные состязания, «салонные» игры, а также явления, связанные с биологической борьбой за «существование». При этом выделяются важнейшие типы игр: антагонистические игры, игры с нулевой cуммой, в которых выигрыш одних, точно равен проигрышу других; матричные игры, в которых каждый из игроков имеет в своем распоряжении конечное количество стратегий; некооперативные игры, в которых oбмен информацией между участниками запрещен или не имеет смысла; кооперативные игры, в которых игрокам разрешается обмениваться информацией и образовывать коалиции; позиционные игры, в которых выбор стратегии осуществляется постепенно в процессе игры (как в шахматах); дифференциальные игры, в которых действия игроков имеют непрерывный характер, например, участники одновременно управляют каким-то движущимся устройством (БСЭ).

Особенности некооперативной игры с ненулевой суммой иллюстрируются классическим примером, получившим название «дилемма заключенного».

Двое подозреваемых находятся под стражей в ожидании суда за тяжкое преступление. Однако следствие не смогло собрать достаточно улик, чтобы поддержать обвинение, но можно использовать небольшой подлог, чтобы сфабриковать дело. Обвинителям удается привлечь на свою сторону адвоката, который предлагает каждому заключенному дать показания на сообщника, обещая взамен свободу. Результаты использования игроками возможных стратегий представляются в виде «матриц», каждый элемент которой равен возможному сроку заключения (эту матрицу в теории называют «матрицей платежей»). Для нового игрока она имеет вид:

Здесь в первой строке 5 лет – срок, который грозит по сфабрикованному делу, если ни один из заключенных не сознается, 0 – означает свободу, в случае предательства, во второй строке: 20 лет – срок, который грозит заключенному, если он не сознается, а второй заключенный его выдаст; Х – срок, который получит первый заключенный, если сознаются оба.

Аналогичная матрица платежей составляется и для второго заключенного.
Матрицы платежей удобнее свести в одну. Стандартная логика Теории игр предписывает каждому заключенному признание как оптимальную стратегию независимо от значения Х. В самом деле, не зная о действиях другого заключенного, только так можно избежать наихудшего исхода – быть преданным и осужденным на 20 лет. Но если Х меньше 5 лет, то возникает парадокс: во-первых, неравновесная точка соответствует большему выигрышу обоих игроков, а во-вторых, альтруистическое поведение оказывается выгоднее эгоистического.

Осмысленность игре придает предполагаемая в человеке возможность предвидеть последствия своих действий и выбирать те из них, которые если и не приводят к наиболее желательным последствиям, то по крайней мере, позволяют избежать наименее желательных. Так что разум оказывается более пригодным для математического моделирования, чем воля. В таких играх, как шашки, шахматы или японская игра ГО (в них действия противников полностью известны друг другу) имеется лишь три возможности. Существует выигрышная стратегия для белых; существует выигрышная стратегия для черных; и белые, и черные имеют стратегию, гарантирующую им победу или ничью (то есть игра с. неизбежностью заканчивается вничью, если оба игрока играют правильно). Тот факт, что выигрышная стратегия для шахмат пока не найдена, не меняет самого принципа.

Точно так же успехи программистов в обучении компьютеров шахматам и их неудачи в обучении компьютеров шашкам никак не указывают на принципиальную разницу этих двух игр в отношении стратегии. И ту, и другую ждет один и тот же конец. Но теория Джона фон Неймана относилась к тому случаю, когда действия противников частично не известны друг другу. Решения тогда приходится принимать в условиях неопределенности, случайным образом чередуя различные стратегии. На то, чтобы доказать существование седловой точки в этом общем случае, ушло почти десять лег, но именно это доказательство и позволило построить науку, которую мы теперь называем «теорией игр».

Жажда справедливости

Название, вообще говоря, оказалось не совсем удачным. Предметом теории в действительности была, скорее, теория рационального выбора стратегии в условиях ограниченного знания о действиях противника. При этом наиболее интересны те случаи, когда противников несколько, а сумма выигрыша ненулевая. В реальной игре сумма всегда оказывается нулевой, так как выиграть можно только то, что проиграли другие. Но в экономике это не так: в ней есть производственный сектор, и эффективность производства зависит от выбора стратегий партнерами. Оптимальная стратегия в этом случае должна включать в себя возможность игроков передавать друг другу некую информацию (возможно, ложную), в частности, образуя коалиции против тех, кого в данный момент выгодно разорить.

Весьма любопытную оценку теории Джона фон Неймана можно найти у Ноберта Винера, творца современной кибернетики. Он считал, что эта теория фактически разрушила спасительную веру американцев в благую роль свободной конкуренции, за счет которой, утешали они себя, рынок якобы компенсирует алчность торговцев и приводит к устойчивой динамике цен. Теория игр показывает, что при трех игроках во многих случаях, а при многих игроках в подавляющем большинстве случаев результат игры характеризуется крайней неопределенностью и неустойчивостью. Побуждаемые своей собственной алчностью, отдельные игроки образуют коалиции; но эти коалиции, как правило, не устанавливаются каким-нибудь одним определенным образом и обычно заканчиваются чередой измен, ренегатства и обманов.
Даже если допустить, что в какой-то момент маклерам это надоест и они согласятся жить в мире между собой, награда достанется тому, кто, выбрав удачный момент, нарушит соглашение и предаст своих партнеров. Но не все так мрачно. Постепенное развитие точных методов анализа экономики и ее регулирования, в том числе развившиеся относительно недавно теории равновесия в многорыночной экономики Кеннета Эрроу и Джона Нэша, позволяет надеяться: постепенно модернизируя экономическую жизнь в демократическом обществе можно если и не приближать ее к идеалу социальной справедливости, то уж, по крайней мере, освобождать эту жизнь от крайних проявлений алчности и вероломства.

Источник: ж. «Что нового», апрель 2004